Question

（2006•玉溪）學了一元二次方程的根與系數的關系后，小亮興奮地說：“若設一元二次方程的兩個根為x₁，x₂，就能快速求出，…的值了．比如設x₁，x₂是方程x²+2x+3=0的兩個根，則x₁+x₂=-2，x₁x₂=3，得．”
（1）小亮的說法對嗎？簡要說明理由；
（2）寫一個你最喜歡的一元二次方程，并求出兩根的平方和．

Answer 1

【答案】分析：一般情況下可以這樣計算、x₁²+x₂²的值，但是若有一根為零時，就無法計算的值了．
解答：解：（1）小亮的說法不對．
若有一根為零時，就無法計算的值了，因為零作除數無意義．

（2）所喜歡的一元二次方程x²-5x-6=0．
設方程的兩個根分別為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=5，x₁•x₂=-6．
又∵x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
將x₁+x₂=5，x₁•x₂=-6代入，得
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=5²-2×（-6）
=37．
點評：將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．