Question

已知函數f（x）=x²+λx，p、q、r為△ABC的三邊，且p＜q＜r，若對所有的正整數p、q、r都滿足f（p）＜f（q）＜f（r），則λ的取值范圍是（　　）

• A、λ＞-2
• B、λ＞-3
• C、λ＞-4
• D、λ＞-5

Answer 1

分析：利用f（r）-f（q）＞0，得出r²+λr-（q²+λq）=r²-q²+λr-λq=（r+q）（r-q）+λ（r-q），利用p＜q＜r得出qmin=2，rmin=3，可求λ的范圍．

解答：解：∵f（r）-f（q）＞0，
r²+λr-（q²+λq）=r²-q²+λr-λq=（r+q）（r-q）+λ（r-q），
=（r-q）（r+q+λ）＞0①
又∵q＜r，
∴（r+q+λ）＞0，λ＞-（r+q），
同理，（q-p）（q+p+λ）＞0②，
又∵p＜q，
∴（q+p+λ）＞0，λ＞-（p+q），
（r-p）（r+p+λ）＞0③
又∵p＜r，
∴（r+p+λ）＞0，λ＞-（r+q）
又∵p＜q＜r，
∴λ最大為-（p+q），
p、q、r三者均為正整數，p＜q＜r，且p、q、r為△ABC的三邊，即需滿足p+q＞r，
∴p的最小值應為2（如P為1，q可為2，r可為3，1+2=3，不滿足p+q＞r的條件），則q的最小值應為3，
∴λ＞-5
故選：D．

點評：此題考查了二次函數的增減性（單調性），是一道難度中等的題目．