Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF.

(1) 求證：AF=DC；

(2) 若AC⊥AB，試判斷四邊形ADCF的形狀，并說明理由；

(3) 當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是正方形？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）四邊形ADCF是菱形（3）當AB=AC且∠BAC=90°時，四邊形ADCF是正方形

【解析】

（1）連接DF，由AAS證明△AFE≌△DBE，得出AF=BD，即可得出答案；
（2）根據平行四邊形的判定得出平行四邊形ADCF，求出AD=CD，根據菱形的判定得出即可；
（3）根據等腰三角形性質求出AD⊥BC，得出∠ADC=90°，根據正方形的判定得出即可．

(1)證明：連接DF,

∵E為AD的中點，

∴AE=DE，

∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

在△AFE和△DBE中，

∠AFE=∠DBE,∠FEA=∠DEB,AE=DE，

∴△AFE≌△DBE(AAS)，

∴EF=BE，

∵AE=DE，

∴四邊形AFDB是平行四邊形，

∴BD=AF，

∵AD為中線，

∴DC=BD，

∴AF=DC；

(2)四邊形ADCF的形狀是菱形，理由如下：

∵AF=DC,AF∥BC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵AC⊥AB，

∴∠CAB=90°，

∵AD為中線，

∴AD=BC=DC，

∴平行四邊形ADCF是菱形；

(3)當△ABC滿足AC=AB且∠BAC=90°時，四邊形ADCF為正方形，理由如下：

∵∠CAB=90°，AC=AB，AD為中線，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∵四邊形ADCF是菱形，

∴四邊形ADCF是正方形.