Question

如圖，在矩形ABCD中對角線AC、BD相交于點F，延長BC到點E，使得四邊形ACED是一個平行四邊形，平行四邊形對角線AE交BD、CD分別為點G和點H．
（1）證明：DG²=FG•BG；
（2）若AB=5，BC=6，則線段GH的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可證得△ADG∽△EBG，△AGF∽△EGD，根據相似三角形的對應邊成比例即可得到DG²=FG•BG；
（2）由已知可得到DH，AH的長，又因為△ADG∽△EBG，從而求得AG的長，則根據GH=AH-AG就得到了線段GH的長度．
解答：解：（1）證明：∵ABCD是矩形，且AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG．
∴=．
又∵△AGF∽△DGE，
∴=．
∴=．
∴DG²=FG•BG．

（2）∵ACED為平行四邊形，AE，CD相交點H，
∴DH=DC=AB=．
∴在直角三角形ADH中，AH²=AD²+DH²
∴AH=．
又∵△ADG∽△BGE，
∴==．
∴AG=GE=×AE=×13=．
∴GH=AH-AG=-=．
點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定，平行四邊形的性質及矩形的性質等知識點的掌握情況．