Question

如圖，已知⊙O的半徑為4，CD是⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，B為CD延長線上的一點，∠ABC=30°，且AB=AC．

（1）求證：AB為⊙O的切線；

（2）求弦AC的長；

（3）求圖中陰影部分的面積．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：如圖，連接OA，

∵AB=AC，∠ABC=30°，∴∠ABC=∠ACB=30°。

∴∠AOB=2∠ACB=60°。

∴在△ABO中，

∠AOB=180°﹣∠ABO﹣∠AOB=90°，

即AB⊥OA。

又∵OA是⊙O的半徑，∴AB為⊙O的切線。

（2）如圖，連接AD，

∵CD是⊙O的直徑，∴∠DAC=90°。

∵由（1）知，∠ACB=30°，∴AD=CD=4。

∴根據勾股定理得。

∴弦AC的長是。

（3）由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=，

∴S_△ABC=AD•AC=×4×=。

∵點O是△ADC斜邊上的中點，∴S_△AOC=S_△ABC=。

∴S_陰影=S_扇形ADO+S_△AOC。

∴圖中陰影部分的面積是。

【解析】

試題分析：（1）如圖，連接OA，欲證明AAB為⊙O的切線，只需證明AB⊥OA即可。

（2）如圖，連接AD，構建直角△ADC，利用“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理來求弦AC的長度。

（3）根據圖示知，圖中陰影部分的面積=扇形ADO的面積+△AOC的面積。