Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A(-4，0),B（1，0),交y軸于C點，且OC=2OB.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線BC上找點D，使△ABD為以AB為腰的等腰三角形，求D點的坐標；

（3）在拋物線上是否存在異于B的點P，過P點作PQ⊥AC于Q，使△APQ與△ABC相似？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；

（2）滿足條件的D點有D1 ，D2，D3(1,4)；

（3）滿足條件的點P有P和P′

【解析】解：（1）依題意得， ，解得， ，

∴拋物線的解析式為；

（2）①以AD為底時，AB=BD，

設直線BC的解析式為y=kx+b，則，

∴直線BC的解析式為y=2x2，

設D（x，2x2），由（2x2）2+（1x）2=25，解得，

∴D1 ，D2，

②以BD為底時，AB=AD，

B點關于AC的對稱點D3（1，4），

綜上所述，滿足條件的D點有D1 ，D2，D3（1，4）；

∵AC2+BC2=AB2，

∴∠ACB=90°，

當P點在第三象限時，

設（2）中AD3交拋物線于P點，

過P點作PQ⊥AC于Q點，由（2）可知∠BAC=∠PAC，

∠ACB=∠AQP， ∴△APQ∽△ABC，

設直線AP的解析式為y=mx+n，由，解得，

∴直線AP的解析式為，

由，解得， 或（舍去），

∴P；

當P點在第三象限時，

過A點作AP′⊥AD3，交拋物線于P′點，

過P′點作P′Q′⊥AC于Q′點，由（2）可知∠BAC=∠AP′Q′，

∠ACB=∠AQ′P′， ∴△P′AQ′∽△ABC，

易得直線AP′的解析式為，

同（3）過程可求P′，

綜上，滿足條件的點P有P和P′

此題解法不唯一，請酌情評分．