Question

在直角坐標系中，點A（5，0）關于原點O的對稱點為點C。
（1）請直接寫出點C的坐標；
（2）若點B在第一象限內，∠OAB=∠OBA，并且點B關于原點O的對稱點為點D。
①試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；
②現有一動點P從B點出發，沿路線BA-AD以每秒1個單位長的速度向終點D運動，另一動點Q從A點同時出發，沿AC方向以每秒0.4個單位長的速度向終點C運動，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動.已知AB=6，設點P、Q的運動時間為t秒，在運動過程中，當動點Q在以PA為直徑的圓上時，試求t的值。

Answer 1

解：（1）C（-5，0）；
（2）①四邊形ABCD為矩形，理由如下： 如圖，由已知可得：A、O、C在同一直線上，且 OA=OC；B、O、D在同一直線上，且OB=OD， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∵∠OAB=∠OBA ∴OA=OB，即AC=2OA=2OB=BD ∴四邊形ABCD是矩形； ②如圖，由①得四邊形ABCD是矩形 ∴∠CBA=∠ADC=90° 又AB=CD=6，AC=10 ∴由勾股定理，得BC=AD==8 ∵，， ∴0≤t≤14 當0≤t≤6時，P點在AB上，連結PQ ∵AP是直徑， ∴∠PQA=90° 又∠PAQ=∠CAB， ∴△PAQ∽△CAB ∴， 即， 解得t=3.6 當6＜t≤14時，P點在AD上，連結PQ，同理得∠PQA=90°，△PAQ∽△CAD ∴， 即t-6， 解得t=12， 綜上所述，當動點Q在以PA為直徑的圓上時，t的值為 3.6或12。