Question

【題目】已知，如圖△ABC中，D是AB的中點，E是AC上一點，EF∥AB，DF∥BE．

（1）猜想：DF與AE的關系是 ；

（2）試說明你猜想的正確性．

Answer 1

【答案】（1）DF與AE互相平分；（2）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）DF與AE互相平分．

（2）由已知可得四邊形BDFE是平行四邊形，從而可得BD=EF，由中點的定義可得AD=BD，再根據平行線的性質即可得到∠ADO=∠EFO，∠DAO=∠FEO，從而可利用ASA判定△ADO≌△EFO，根據全等三角形的對應邊相等即可得到OD=OF，OA=OE，即得到AE與DF互相平分，或連接AF、DE，然后證明四邊形DEFA是平行四邊形，再根據平行四邊形的對角線互相平分證明．

解：（1）DF與AE互相平分；

∵D是AB的中點，

∴AD=BD，

∵EF∥AB，DF∥BE，

∴四邊形BEFD是平行四邊形，

∴EF=BD=AD，

∵EF∥AB，

∴EF∥AD，

∵EF∥AD，EF=AD，

∴四邊形AFED是平行四邊形，

∴DF、AE是平行四邊形AFED的對角線，

∴DF、AE互相平分；

（2）∵EF∥AB，DF∥BE，

∴四邊形BDFE是平行四邊形，

∴BD=EF，

∵D是AB的中點，

∴AD=BD，

∴EF=AD，

∵EF∥AB，

∴∠ADO=∠EFO，∠DAO=∠FEO，

在△ADO和△EFO中，

∵，

∴△ADO≌△EFO，

∴OD=OF，OA=OE，

即AE與DF互相平分；

或連接AF、DE．