Question

如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，頂點C在y軸的負半軸上，tan∠ABC=，點P在線段OC上，且PO、PC的長（PO＜PC）是方程x²-12x+27=0的兩根．
（1）求P點坐標；
（2）求AP的長；
（3）在x軸上是否存在點Q，使以點A、C、P、Q為頂點的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出直線PQ的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據PO、PC的長（PO＜PC）是方程x²-12x+27=0的兩根．解方程x²-12x+27=0，得x₁=3，x₂=9，得PO=3．即P（0，-3）；
（2）由（1）可知，PO=3，PC=9，OC=12，∠ABC=∠ACO，所以tan∠ACO=，可求得A（-9，0），所以AP=；
（3）先根據梯形的性質求出對應的點Q的坐標，再利用待定系數解出直線PQ解析式為：y=-x-3或y=-x-3．
解答：解：（1）解方程x²-12x+27=0，得x₁=3，x₂=9，
∵PO＜PC，
∴PO=3，
∴P（0，-3）；

（2）∵PO=3，PC=9，
∴OC=12，
∵∠ABC=∠ACO，
∴tan∠ACO=，
∴OA=9，
∴A（-9，0），
∴AP=；

（3）存在，
①當CQ∥PA時，直線PA的解析式為：y=-x-3，
∴直線CQ的解析式為：y=-x-12，
∴Q（-36，0），
∴直線PQ解析式為：y=-x-3，
②當PQ′∥AC時，直線AC的解析式為：y=-x-12，
∴直線PQ′的解析式為：y=-x-3，
綜上所述：直線PQ解析式為：y=-x-3或y=-x-3，
說明：如果學生有不同于本參考答案的解題方法，只要正確，可參照本評分標準，酌情給分．
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．