Question

如圖所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，N、M分別為AC、BD的中點，
求證：（1）MN∥BC；（2）MN=（BC-AD）．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AB中點P，連MP，NP，證N、M、P三點共線即可；
（2）連接AM并延長，交BC于點G，證明△AMD≌△GMB，根據中位線定理即可證明；
解答：證明：
（1）取AB中點P，連MP，NP，
∵M為BD的中點，
∴PM∥AD，
同理NP∥BC，
∵AD∥BC，
∴N、M、P三點共線，
∴MN∥BC．

（2）法一：∵MN∥BC，N、M分別為AC、BD的中點，
∴P是AB的中點，
∴PN=BC，PM=AD，
∴MN=（BC-AD）．

法二：如圖所示，連接AM并延長，交BC于點G．
∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠GBM，∠MAD=∠MGB，
又∵M為BD中點，
∴△AMD≌△GMB．
∴BG=AD，AM=MG．
在△AGC中，MN為中位線，
∴MN=GC=（BC-BG）=（BC-AD），
即MN=（BC-AD）．
點評：本題考查了梯形及三角形中位線定理，難度較大，關鍵是通過巧妙地作輔助線進行證明．