Question

如圖，在直角坐標平面xOy內，點A在x軸的正半軸上，點B在第一象限內，且∠OAB=90°，∠BOA=30°，OB=4．二次函數y=-x²+bx的圖象經過點A，頂點為點C．
（1）求這個二次函數的解析式，并寫出頂點C的坐標；
（2）設這個二次函數圖象的對稱軸l與OB相交于點D，與x軸相交于點E，求

DE

DC

的值；
（3）設P是這個二次函數圖象的對稱軸l上一點，如果△POA的面積與△OCE的面積相等，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）由∠OAB=90°，在直角三角形OAB中求得點A，代入函數式解得．
（2）直角三角形OAB中求得AB的長度，由拋物線的對稱軸可知DE∥AB，OE=AE．求得DE，進而求得CD，從而求得．（3）利用三角形OCE和三角形POA的面積相等即求得．

解答：解：（1）∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，OB=4，
∴OA=OB•cos30°=2

3

．
∴A（2

3

，0）．（1分）
∵二次函數y=-x²+bx的圖象經過點A，
∴-(2

3

)2+2

3

b=0．
解得b=2

3

．
∴二次函數的解析式為y=-x2+2

3

x．（2分）
頂點C的坐標是（

3

，3）．（1分）

（2）∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，OB=4，
∴AB=2．（1分）
由DE是二次函數y=-x2+2

3

x的圖象的對稱軸，
可知DE∥AB，OE=AE．
∴

DE

AB

=

OE

OA

=

1

2

．即得DE=1．（1分）
又∵C（

3

，3），∴CE=3．
即得CD=2．（1分）
∴

DE

DC

=

1

2

．（1分）

（3）根據題意，可設P（

3

，n）．
∵OE=

1

2

OA=

3

，CE=3，
∴S△OCE=

1

2

OE•CE=

3

2

3

．（1分）
∴S△POA=

1

2

OA•PE=

1

2

×2

3

|n|=

3 3

2

．
解得n=±

3

2

．（1分）
∴點P的坐標為P₁（

3

，

3

2

）、P₂（

3

，-

3

2

）．（2分）

點評：本題考查了二次函數的綜合運用，考查了直角三角形內的三角函數，拋物線過一點，即代入求得；通過拋物線的對稱軸來做題，方便快捷，這也考查了靈活的思維；通過面積的求得，來求得點的做標，只是考查的手段，問題考查的思路．