Question

把兩個大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的規則放置：“在同一平面內將直角頂點疊合”．
（1）圖1是一種放置位置及由它抽象出的幾何圖形，B、C、D在同一條直線上，連接EC．請找出圖中的全等三角形（結論中不含未標識的字母），并說明理由；
（2）圖2也是一種放置位置及由它抽象出的幾何圖形，A、C、D在同一條直線上，連接BD、連接EC并延長與BD交于點F．請找出線段BD和EC的位置關系，并說明理由；
（3）請你：
①畫出一個符合放置規則且不同于圖1和圖2所放位置的幾何圖形；
②寫出你所畫幾何圖形中線段BD和EC的位置和數量關系；
③上面第②題中的結論在按照規則放置所抽象出的幾何圖形中都存在嗎？

Answer 1

解：（1）△ABD≌△ACE．
∵△ABC是直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°．
同理 AD=AE，∠EAD=90°．
∴∠BAC=∠EAD．
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE．

（2）在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE．
∴∠ADB=∠AEC．（全等三角形對應角相等）
∵∠ACE=∠DCF，（對頂角相等）
∠ADB+∠DCF+∠EFD=180°，（三角形內角和180°）
∠AEC+∠ACE+∠EAC=180°，（三角形內角和180°）
∴∠EAC=∠EFD．
∵∠BAC=90°，
∴∠EAC=90°．
即∠EFD=90°．
∴BD⊥EC．（垂直定義）

（3）①如圖：
②BD=EC，BD⊥EC．
③存在．
分析：（1）可證∠BAD=∠CAE，運用SAS證明△ABD與△ACE全等；
（2）根據SAS證明△ABD與△ACE全等，得BD=CE；∠ADB=∠AEC．根據三角形內角和定理證明∠CFD=∠CAE=90°可判斷位置關系；
（3）當△ABC繞點A旋轉與△ADE重疊時結論仍成立．
點評：此題考查全等三角形的判定和垂直的定義，把實際問題抽象成數學模型是難點．