Question

已知拋物線y=ax²-4ax+4a-2，其中a是常數．
（1）求拋物線的頂點坐標；
（2）若a＞

2

5

，且拋物線與x軸交于整數點（坐標為整數的點），求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的解析式為y=ax²-4ax+4a-2，把其化為頂點式，從而求出拋物線的頂點坐標；
（2）由題意a＞

2

5

，根據公式法求出ax²-4ax+4a-2=0的根，再由題意拋物線與x軸交于整數點（坐標為整數的點），來確定a的值，從而求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）依題意，得a≠0，
∴y=ax²-4ax+4a-2=a（x²-4x+4）-2=a（x-2）²-2；
∴拋物線的頂點坐標為（2，-2）；（2分）

（2）∵拋物線與x軸交于整數點，
∴ax²-4ax+4a-2=0的根是整數，
∴x=

4a± 16a2-4a(4a-2)

2a

=2±

2a

a

是整數，
∵a＞0，x=2±

2 a

是整數；（3分）
∴

2

a

是整數的完全平方數．∵a＞

2

5

，
∴

2

a

＜5，（4分）
∴

2

a

取1，4，
當

2

a

=1時，a=2；當

2

a

=4時，a=

1

2

．
∴a的值為2或

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=2x²-8x+6或y=

1

2

x2-2x．（6分）

點評：此題主要考查一元二次方程與函數的關系及用公式法求出方程的根．