Question

如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（，）的拋物線交軸于點，交軸于，兩點（點在點的左側）， 已知點坐標為（，）．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）過點作線段的垂線交拋物線于點， 如果以點為圓心的圓與直線相切，請判斷拋物線的對稱軸與⊙有怎樣的位置關系，并給出證明；

（3）已知點是拋物線上的一個動點，且位于，兩點之間，問：當點運動到什么位置時，的面積最大？并求出此時點的坐標和的最大面積.

Answer 1

（1）解：（1）設拋物線為.

 ∵拋物線經過點（0，3），∴.∴.

 ∴拋物線為.   …………………3分

 (2) 答：與⊙相交………………………1分

證明：當時，，.

∴為（2，0），為（6，0）.∴.…………………1分

設⊙與相切于點，連接，則.

 ∵，∴.

 又∵，∴.∴∽.……1分

 ∴.∴.∴.…………………………1分

 ∵拋物線的對稱軸為，∴點到的距離為2.

 ∴拋物線的對稱軸與⊙相交.  ……………………………………………1分

(3) 解：如圖，過點作平行于軸的直線交于點。

可求出的解析式為.…………………………………………1分

設點的坐標為（，），則點的坐標為（，）.  ∴.

 ∵,

  ∴當時，的面積最大為.