Question

20．已知矩形OABC在如圖所示平面直角坐標系中，點B的坐標為（4，3），連接AC．動點P從點B出發，以2cm/s的速度，沿直線BC方向運動，運動到C為止（不包含B、C兩點），過點P作PQ∥AC交線段BA于點Q，以PQ為邊向下作正方形PQMN，設正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形面積為S（cm²），設點P的運動時間為t（s）．
（1）請用含t的代數式表示N點的坐標；
（2）求S與t之間的函數關系式，并指出t的取值范圍；
（3）如圖②，點G在邊OC上，且OG=1cm，在點P從點B出發的同時，另有一動點E從點O出發，以2cm/s的速度，沿x軸正方向運動，以OG、OE為一組鄰邊作矩形OEFG．請直接寫出當點F落在正方形PQMN的內部（不含邊界）時t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作NH⊥BC于點H，根據△BPQ∽△BCA，利用相似三角形的對應邊的比相等求得BQ，然后證明△BPQ≌△HNP，則BH以及HN的長即可利用t表示，則N的坐標即可求解；
（2）首先求出MN在AC上時t的值，然后分兩種情況進行討論，利用矩形的面積公式即可求解；
（3）求得AC的解析式，然后根據PQ∥AC，MN∥AC即可求得PQ和MN的解析式，F的坐標是（2t，1），把F的坐標分別代入PQ和MN的解析式即可求解

解答 解：（1）作NH⊥BC于點H．
∵PQ∥CA，
∴△BPQ∽△BCA，
∴$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，即$\frac{2t}{4}=\frac{BQ}{3}$，
解得：BQ=$\frac{3}{2}$t，
∵在△BPQ和△HNP，
∴$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠NHP}\\{∠HPN=∠BQP}\\{PN=QP}\end{array}\right.$，
∴△BPQ≌△HNP，
∴HP=BQ=$\frac{3}{2}$t，NH=BP=2t，
則BH=2t+$\frac{3}{2}$t=$\frac{7}{2}$t，
則N點坐標（4-$\frac{7}{2}$t，3-2t）；
（2）當MN在AC上時，如圖②．
∵△BPQ∽△BCA，
∴$\frac{BP}{BC}=\frac{PQ}{AC}$，即$\frac{2t}{4}=\frac{PQ}{5t}$，
解得：PQ=$\frac{5}{2}$t，
當MN在AC上時，PN=PQ=$\frac{5}{2}$t，
△ABC∽△PNC，即$\frac{PN}{AB}=\frac{CP}{AC}$，即$\frac{\frac{5}{2}t}{3}=\frac{4-2t}{5}$，
解得：t=$\frac{24}{37}$．
則S=$\frac{25}{4}$t²．
其中，0≤t≤$\frac{24}{37}$．
當t＞$\frac{24}{37}$時，設PN交AC于點E，如圖③．
則△ABC∽△PEC，則$\frac{PE}{AB}=\frac{CP}{AC}$，即$\frac{PE}{3}=\frac{4-2t}{5}$，解得：PE=$\frac{12-6t}{5}$，
則S=-3t²+6t．
其中，$\frac{24}{37}$＜t≤2．
（3）設AC的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
則設直線MN的解析式是y=-$\frac{3}{4}$x+3，
則-$\frac{3}{4}$（4-$\frac{7}{2}$t）+c=3-2t，
解得：c=6-$\frac{37}{8}$t，
則直線的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+（6-$\frac{37}{8}$t）．
同理，直線PQ的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+（$\frac{25}{3}$-$\frac{8}{3}$t），
F的坐標是（2t，1）．
當點F落在MN上時，
t=$\frac{40}{49}$．
當點F落在PQ上時，
∴t=$\frac{5}{3}$． 
∴$\frac{40}{49}$＜t＜$\frac{5}{3}$

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，以及全等三角形的判和性質，待定系數法，正確求得MN在AC上時對應的t的值是關鍵．是一道中等難度的中考常考題．