Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，折疊梯形ABCD，使點B與點D重合，EF為折痕，且DF⊥BC，下列結論：
①△BFD為等腰直角三角形；②△ABD∽△ADE；③EF∥AC；④AD+FC＞DF
其中正確的是（ ）

A．②④
B．①④
C．②③
D．①③

Answer 1

【答案】分析：根據等腰梯形及折疊的性質對條件進行判斷即可．
解答：解：由折疊的性質知：EF垂直平分BD；
∴EF⊥BD，BF=DF；
又∵DF⊥BF，
∴△BDF是等腰直角三角形；故①正確；
∴∠DBF=45°；
易證得△DBC≌△ACB，得∠ACB=∠DBC=45°；
∴∠BNC=90°；
∴EF∥AC；故③正確；
過A作AG⊥BC，則BG=FC；
∴DF=BF=BG+GF=AD+FC；故④錯誤；
若②成立，則∠AED=∠BDA，∠ADE=∠ABD；
由折疊的性質知：∠ABD=∠EDB，
∴∠ADE=∠BDE，即DE平分∠ADB；
由于沒有條件能直接證明DE是∠ADB的平分線，故②不一定成立；
所以正確的結論是①③，故選D．
點評：此題主要考查的是等腰梯形的性質、折疊的性質、相似三角形的判定等知識．