Question

①如圖1，在矩形ABCD中，E、F為BC上兩點，且BE=CF，求證：∠BAF=∠CDE；
②如圖2，在平面直角坐標系中，已知點B（4，2），BA⊥x軸于A．
（1）求tan∠BOA的值；
（2）將△AOB繞原點順時針方向旋轉90°后記作△A′OB′；
①畫出旋轉后的圖形并寫出A′、B′的坐標；
②求在旋轉過程中線段OA掃過的面積．

Answer 1

【答案】分析：①根據矩形的性質求出AB=CD，∠B=∠C=90°，再求出BF=CE，然后根據“SAS”證明△ABF和△DCE全等，根據全等三角形對應角相等即可證明；
②（1）根據點B的坐標，利用∠BOA的正切值等于對邊比鄰邊列式進行計算即可得解；
（2）根據網格結構找出點A、B繞點O順時針旋轉90°后的對應點A′、B′的位置，然后順次連接即可，再根據平面直角坐標系寫出點A′、B′的坐標；然后根據扇形面積公式列式進行計算即可求出OA掃過的面積．
解答：①證明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠B=∠C=90°，
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
∵，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠BAF=∠CDE；

②解：（1）∵點B（4，2），
∴tan∠BOA==；

（2）①如圖，△A′OB′即為所求作的圖形；
點A′（0，-4），B′（2，-4）；
②線段OA掃過的面積==4π．
點評：本題考查了利用旋轉變換作圖，全等三角形的判定與性質，銳角三角形函數，扇形的面積計算，比較簡單，熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵．