Question

閱讀材料：
若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個實根為x₁、x₂，則兩根與方程系數之間有如下關系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．根據上述材料解決下列問題：
已知關于x的一元二次方程x²=2（1-m）x-m²；有兩個實數根：x₁，x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）設y=x₁+x₂，當y取得最小值時，求相應m的值，并求出最小值．

Answer 1

分析：（1）首先將原方程化為一般式，由關于x的一元二次方程x²=2（1-m）x-m²有兩個實數根，則可知△≥0，解不等式即可求得m的取值范圍；
（2）由y=x₁+x₂=-

b

a

，代入即可求得：y=2-2m，根據（1）中m的取值范圍，即可求得最小值．

解答：解：（1）∵x²=2（1-m）x-m²，
∴x²-2（1-m）x+m²=0，
∵關于x的一元二次方程x²=2（1-m）x-m²有兩個實數根，
∴△=[-2（1-m）]²-4m²=-8m+4≥0，
解得：m≤0.5．
∴m的取值范圍：m≤0.5；

（2）∵y=x₁+x₂=-

b

a

=-

-2(1-m)

1

=2-2m，
∴當m=0.5時，y有最小值，最小值為1．

點評：此題考查了根與系數的關系，以及判別式的應用．此題比較簡單，注意將方程化為一般形式．