Question

如圖，直線y=

1

2

x+b分別于x軸、y軸相交于A、B，與雙曲線y=

k

x

（其中x＞0）相交于第一象限內的點p（2，y₁）．作PC⊥x軸于C，已知△APC的面積為9．
（1）求雙曲線所對應函數關系式；
（2）在（1）中所求的雙曲線上是否存在點Q（m，n）（其中m＞0），作QH⊥x軸于H，當QH＞CH時，使得△QCH與△AOB相似？若存在，請求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據兩個函數的解析式及其與x軸的交點坐標和表示出P點的坐標根據三角形的面積k值從而求出雙曲線的函數解析式．
（2）利用（1）我們可以求出△AOB各邊的長，然后利用三角形相似求出Q點的坐標就可以．

解答：解：（1）∵P在直線函數上
∴y₁=1+b
∵PC⊥x軸
∴PC=1+b
當y=0時，得x=-2b
∴AC=2+2b，OA=2b
∴

1

2

(2+2b)(1+b)=9
解得：b₁=-4，b₂=2
∵P點在第一象限，b＞-1
∴b=2，∴y₁=1+b=3，OA=4
∴P（2，3）∴3=

k

2

∴k=6
∴一次函數的解析式為：y=

1

2

x+2
雙曲線的解析式為：y=

6

x

（2）由圖得：當△QCH∽△ABO時
∴

CH

BO

=

QH

AO

∴

m-2

2

=

6 m

4

解得：m₁=3，m₂=-1
∵m＞0
∴m=3
∴Q（3，2）

點評：本題是一道反比例函數的綜合試題，考查了用待定系數法求函數的解析式、函數圖象中三角形面積的運用、相似三角形的判定等知識點．