Question

如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結論：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S_△CEF=2S_△ABE．其中正確結論有（ ）個．

A．2
B．3
C．4
D．5

Answer 1

【答案】分析：通過條件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性質就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出S_△CEF和2S_△ABE再通過比較大小就可以得出結論
解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等邊三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，①正確．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°②正確，
∵BC=CD，
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．③正確．
設EC=x，由勾股定理，得
EF=x，CG=x，AG=x，
∴AC=，
∴AB=，
∴BE=-x=，
∴BE+DF=x-x≠x，④錯誤，
∵S_△CEF=，
S_△ABE==，
∴2S_△ABE==S_△CEF，⑤正確．
綜上所述，正確的有4個，故選C．
點評：本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質的運用，三角形的面積公式的運用，解答本題時運用勾股定理的性質解題時關鍵．