Question

（2009•建鄴區二模）已知：如圖，△ABC中，AB=AC=6，，⊙O的半徑為OB，圓心在AB上，且分別與邊AB、BC相交于D、E兩點，但⊙O與邊AC不相交，又EF⊥AC，垂足為F．設OB=x，CF=y．
（1）判斷直線EF與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）設OB=x，CF=y．
①求y關于x的函數關系式；
②當直線DF與⊙O相切時，求OB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要想證EF是⊙O的切線，只要連接OE，求證∠OEF=90°即可；
（2）求y關于x的函數關系式，可以證明△BOE∽△BAC及應用三角形的性質將兩者結合求出；EF、DF與⊙O相切，易證四邊形OBCF是等腰梯形，得出OB=CF，得出方程，求出OB的長．
解答：解：（1）直線EF與⊙O相切（1分）
理由：如圖①，連接OE，則OE=OB，∠OBE=∠OEB．
∵AB=AC，
∴∠OBE=∠C．
∴∠OEB=∠C．
∴OE∥AC．（2分）
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OE．
∵點E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切線．（4分）

（2）①如圖②，作AH⊥BC，H為垂足，并連接OE，那么BH=，
∵AB=6，，
∴BH=2，BC=4．（5分）
∵OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC．
∴．
即．
∴BE=．
∴．（7分）
在Rt△ECF中，，
∴．
∴所求函數的關系式為．（8分）

②如圖③，連接OE，DE，OF，由EF、DF與⊙O相切，
∴FD=FE，且∠DFO=∠EFO．
∴OF垂直平分DE．（10分）
∵∠DEB=90°，
∴BC⊥DE．
∴OF∥BC．
∴四邊形OBCF是等腰梯形．
∴OB=CF，得．
解得：．
即OB=．（12分）
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了相似三角形，等腰梯形的性質解決函數問題．