Question

在平面直角坐標系中，已知函數y₁=2x和函數y₂=-x+6，不論x取何值，y都取y₁與y₂二者之中的較小值．
（1）求y關于x的函數關系式；
（2）現有二次函數y=x²-8x+c，若函數y和y都隨著x的增大而減小，求自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的結論下，若函數y和y的圖象有且只有一個公共點，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯立兩函數解析式求出交點坐標，然后根據一次函數的增減性解答；
（2）根據一次函數的增減性判斷出x≥2，再根據二次函數解析式求出對稱軸，然后根據二次函數的增減性可得x≤4，從而得解；
（3）①若函數y=x²-8x+c與y=-x+6只有一個交點，聯立兩函數解析式整理得到關于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0求出c的值，然后求出x的值，若在x的取值范圍內，則符合；②若函數y=x²-8x+c與y=-x+6有兩個交點，先利用根的判別式求出c的取值范圍，方法一：先求出x=2與x=4時的函數值，然后利用一個解在x的范圍內，另一個解不在x的范圍內列出不等式組求解即可；方法二：聯立兩函數解析式整理得到關于x的一元二次方程，并求出方程的解，再根據兩個解一個在x的范圍內，另一個解不在x的范圍內列出不等式組求解即可．
解答：解：（1）聯立，
解得，
所以，y=；
（說明：兩個自變量取值范圍都含有等號或其中一個含等號均不扣分，都沒等號扣1分）

（2）∵對函數y，當y隨x的增大而減小，
∴y=-x+6（x≥2），
又∵函數y的對稱軸為直線x=4，且a=1＞0，
∴當x≤4時，y隨x的增大而減小，
∴2≤x≤4；

（3）①若函數y=x²-8x+c與y=-x+6只有一個交點，且交點在2＜x＜4范圍內，
則x²-8x+c=-x+6，
即x²-7x+（c-6）=0，
△=73-4c=0，
解得c=18，
此時x₁=x₂=，符合2＜x＜4，
所以，c=18，
②若函數y=x²-8x+c與y=-x+6有兩個交點，其中一個在2≤x≤4范圍內，另一個交點在2≤x≤4范圍外，
則△=73-4c＞0，
解得c＜18，
方法一：對于y=-x+6，當x=2時，y=4，
當x=4時，y=2，
又∵當2≤x≤4時，y隨x的增大而減小，
若y=x²-8x+c與y=-x+6在2＜x＜4內有一個交點，
則當x=2時，y＞y，當x=4時，y＜y，
即當x=2時，y≥4；當x=4，時y≤2，
也就是，
解得16＜c＜18，
由c＜18，得16＜c＜18…..…（12分）
方法二：聯立消去y得，
x²-7x+（c-6）=0，
解得x=，
由函數y=x²-8x+c與y=-x+6的一個交點在2≤x≤4范圍內，另一個交點在2≤x≤4范圍外，
可得：或，
解第一個不等式組，可得即無解，
解第二個不等式組，可得即16＜c＜18，
由c＜18，得16＜c＜18．
綜上所述，c的取值范圍是：c=18或16＜c＜18．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要涉及聯立兩函數解析式求交點坐標，一次函數與二次函數的增減性，以及交點的個數的討論求解，（3）難點在于要分只有一個交點且交點橫坐標在x的取值范圍內，有兩個交點，但只有一個交點的橫坐標在x的取值范圍內，而另一交點在范圍外，比較復雜且難度較大．