Question

如圖，點A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置．
（1）求點B的坐標；
（2）求經過點A、O、B的拋物線的解析式；
（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據OA的旋轉條件確定B點位置，然后過B做x軸的垂線，通過構建直角三角形和OB的長（即OA長）確定B點的坐標．
（2）已知O、A、B三點坐標，利用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）根據（2）的拋物線解析式，可得到拋物線的對稱軸，然后先設出P點的坐標，而O、B坐標已知，可先表示出△OPB三邊的邊長表達式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三種情況分類討論，然后分辨是否存在符合條件的P點．
解答：解：（1）如圖，過B點作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，
∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，
∴點B的坐標為（-2，-2）；

（2）∵拋物線過原點O和點A、B，
∴可設拋物線解析式為y=ax²+bx，
將A（4，0），B（-2．-2）代入，得
，
解得，
∴此拋物線的解析式為y=-x²+x

（3）存在，
如圖，拋物線的對稱軸是直線x=2，直線x=2與x軸的交點為D，設點P的坐標為（2，y），
①若OB=OP，
則2²+|y|²=4²，
解得y=±2，
當y=2時，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，
∴∠POD=60°，
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，
即P、O、B三點在同一直線上，
∴y=2不符合題意，舍去，
∴點P的坐標為（2，-2）
②若OB=PB，則4²+|y+2|²=4²，
解得y=-2，
故點P的坐標為（2，-2），
③若OP=BP，則2²+|y|²=4²+|y+2|²，
解得y=-2，
故點P的坐標為（2，-2），
綜上所述，符合條件的點P只有一個，其坐標為（2，-2），
點評：此題融合了函數解析式的確定、等腰三角形的判定等知識，綜合程度較高，但屬于二次函數綜合題型中的常見考查形式，沒有經過分類討論而造成漏解是此類題目中易錯的地方．