Question

14、從1，2，…，9中任取n個(gè)數(shù)，其中一定可以找到若干個(gè)數(shù)（至少一個(gè)，也可以是全部），它們的和能被10整除，求n的最小值．

Answer 1

分析：先分析當(dāng)n=4時(shí)，找不到若干個(gè)數(shù)的和能被10整除，再討論n=5的情況，設(shè)a₁，a₂，，a₅是1，2，…，9中的5個(gè)不同的數(shù)．可得出a₁，a₂，…，a₅中必定有一個(gè)數(shù)是5．用反證法證明，推出矛盾，從而得出n的最小值為5．

解答：解：當(dāng)n=4時(shí)，數(shù)1，3，5，8中沒(méi)有若干個(gè)數(shù)的和能被10整除．（5分）
當(dāng)n=5時(shí)，設(shè)a₁，a₂，，a₅是1，2，…，9中的5個(gè)不同的數(shù)．
若其中任意若干個(gè)數(shù)，它們的和都不能被10整除，則a₁，a₂，，a₅中不可能同時(shí)出現(xiàn)1和9；2和8；3和7；4和6．
于是a₁，a₂，…，a₅中必定有一個(gè)數(shù)是5．
若a₁，a₂，…，a₅中含1，則不含9．于是不含4（4+1+5=10），故含6；于是不含3（3+6+1=10），故含7；
于是不含2（2+1+7=10），故含8．但是5+7+8=20是10的倍數(shù)，矛盾．
若a₁，a₂，…，a₅中含9，則不含1．于是不含6（6+9+5=20），故含4；于是不含7（7+4+9=20），故含3；
于是不含8（8+9+3=10），故含2．但是5+3+2=10是10的倍數(shù)，矛盾．
綜上所述，n的最小值為5．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道競(jìng)賽題目，考查了抽屜原理，難度較大．