Question

（2004•郴州）已知：如圖，等腰梯形ABCD的邊BC在x軸上，點A在y軸的正方向上，A（0，6），D（4，6），且AB=2．
（1）求點B的坐標；
（2）求經過B、D兩點的拋物線y=ax²+bx+6的解析式；
（3）在（2）中所求的拋物線上是否存在一點P，使得？若存在，請求出該點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得AO長，那么可利用勾股定理求得BO長，進而求得B坐標；
（2）把B，D坐標代入拋物線y=ax²+bx+6即可求得拋物線解析式；
（3）易求得梯形的面積，也就得到了梯形的面積的一半的值．設P的縱坐標為y，那么S_△BCP=×BC×|y|，可得y的兩個值代入（2）中的函數解析式即可求得相應的x的值．
解答：（本題滿分14分）
解：（1）在Rt△ABC中，AB=2，OA=D_縱坐標=6，
∴BO==2，
∵點B在x軸的負半軸上
∴B（-2，0）；

（2）依題意，
得，
解這個方程組，得，
∴；

（3）∵A（0，6），D（4，6）
∴AD=4
過點D作DE⊥x軸于點E，則四邊形DEOA是矩形，
有DE=OA=6，AD=OE=4
∵四邊形ABCD是等腰梯形
∴
由勾定理得：CE==2
∴OC=2+4=6
∴C（6，0）
∵B（-2，0）
∴BC=8
∴
∵
∴
設點P的坐標為（x，y），則△PBC的BC邊上的高為|y|
∴
∴
∴
∵點在拋物線上
∴
解這個方程得：x₁=-3，x₂=7
點P₁的坐標為
同理可求得：P₂的坐標為
所P點坐標為．
點評：本題考查用勾股定理求解線段長；用待定系數法求函數解析式，需注意到一條線段距離為定值的點的縱坐標有2個．