Question

（2012•福州） 如圖，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，則AD的長是

5 -1

2

，cosA的值是

5 +1

4

．（結果保留根號）

Answer 1

分析：可以證明△ABC∽△BDC，設AD=x，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可列出方程，求得x的值；
過點D作DE⊥AB于點E，則E為AB中點，由余弦定義可求出cosA的值．

解答：解：∵△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-∠A

2

=72°．
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠DBC=

1

2

∠ABC=36°．
∴∠A=∠DBC=36°，
又∵∠C=∠C
∴△ABC∽△BDC，
∴

AC

BC

=

BC

CD

，
設AD=x，則BD=BC=x．則

1

x

=

x

1-x

，
解得：x=

-1- 5

2

（舍去）或

5 -1

2

．
故x=

5 -1

2

．
如右圖，過點D作DE⊥AB于點E，
∵AD=BD，
∴E為AB中點，即AE=

1

2

AB=

1

2

．
在Rt△AED中，cosA=

AE

AD

=

1 2

5 -1 2

=

5 +1

4

．
故答案是：

5 -1

2

；

5 +1

4

．

點評：△ABC、△BCD均為黃金三角形，利用相似關系可以求出線段之間的數量關系；在求cosA時，注意構造直角三角形，從而可以利用三角函數定義求解．