Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是上的一個動點，過點P作BC的平行線交AB的延長線于點D．
（1）當點P在什么位置時，DP是⊙O的切線？請說明理由；
（2）當DP為⊙O的切線時，求線段DP的長．

Answer 1

解：（1）當點P是的中點時，DP是⊙O的切線。理由如下：
連接AP。
∵AB=AC，∴。
又∵，∴。∴PA是⊙O的直徑。
∵，∴∠1=∠2。
又∵AB=AC，∴PA⊥BC。
又∵DP∥BC，∴DP⊥PA。∴DP是⊙O的切線。
（2）連接OB，設PA交BC于點E。．

由垂徑定理，得BE=BC=6。
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：AE=。
設⊙O的半徑為r，則OE=8﹣r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：r²=6²+（8﹣r）²，解得r=。
∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D。
又∵∠1=∠1，∴△ABE∽△ADP，
∴，即，解得：。

解析