Question

（2011•宣城模擬）我們知道連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；通過證明可以得到“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”類似三角形中位線，我們把連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線．如圖在梯形ABCD中，AD∥BC，點E，F分別是AB、CD的中點，觀察EF的位置，聯想三角形中位線的性質，你能發現梯形的中位線有什么性質？證明你的結論．
（2）如果點E分線段AB為

AE

EB

=

1

3

，EF∥BC交CD于F，AD=3，BC=5，請你利用第（1）的結論求出EF=

3.5

（直接填寫結果）；
（3）如果點E分線段AB為

AE

EB

=

m

n

，EF∥BC交CD 于F，AD=a，BC=b，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）連接AF并延長交BC的延長線于點G，然后利用角邊角證明△ADF與△GCF全等，根據全等三角形對應邊相等可得DF=CF、AD=CG，然后再根據三角形的中位線定理即可得證明；
（2）過點A作AH∥CD交EF于點G，交BC于點H，根據平行四邊形的對邊相等可得GF=AD，再根據平行線分線段成比例定理表示出EG的長度，然后相加即可求出EF的長；
（3）與（2）同理可求出EF的長．

解答：解：（1）證明：如圖1，連接AF并延長交BC的延長線于點G，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠GCF，
∵F是CD的中點，
∴DF=FC，
在△ADF與△GCF中，

∠D=∠GCF DF=FC ∠DFA=∠CFG(對頂角相等)

，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴AF=FG，AD=CG，
∴EF∥BC，且EF=

1

2

BG，
∵BG=BC+CG，
∴EF=

1

2

（AD+BC），
即梯形的中位線平行于底邊并且等于兩底和的一半；

（2）如圖2，過點A作AH∥CD交EF于點G，交BC于點H，
∵AD∥BC，
∴GF=CH=AD，
∵

AE

EB

=

1

3

，
∴

EG

BH

=

AE

AB

=

1

4

，
∴EG=

BH

4

，
∴EF=EG+GF=

BH

4

+AD，
∵AD=3，BC=5，
∴EF=

5-3

4

+3=3.5；

（3）如圖3，過點A作AH∥CD交EF于點G，交BC于點H，
∵AD∥BC，
∴GF=CH=AD，
∵

AE

EB

=

m

n

，
∴

EG

BH

=

AE

AB

=

m

m+n

，
∴EG=

m

m+n

BH，
∴EF=EG+GF=

m

m+n

BH+AD，
∵AD=a，BC=b，
∴EF=

m

m+n

×（b-a）+a=

mb+na

m+n

．

點評：本題主要考查了梯形的中位線與平行線分線段成比例定理，通過作輔助線，把梯形的問題轉化為三角形的中位線進行解答是解題的關鍵．