Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+2交x軸于A（-1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，與過點C且平行于x軸的直線交于另一點D，點P是拋物線上一動點．

（1）求拋物線解析式及點D坐標；
（2）點E在x軸上，若以A，E，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點P的坐標；
（3）過點P作直線CD的垂線，垂足為Q，若將△CPQ沿CP翻折，點Q的對應點為Q′．是否存在點P，使Q′恰好落在x軸上？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）用待定系數法可得出拋物線的解析式，令y=2可得出點D的坐標；
（2）分兩種情況進行討論，①當AE為一邊時，AE∥PD，②當AE為對角線時，根據平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，求解點P坐標．
（3）結合圖形可判斷出點P在直線CD下方，設點P的坐標為（a，-a²+a+2），分情況討論，①當P點在y軸右側時，②當P點在y軸左側時，運用解直角三角形及相似三角形的性質進行求解即可．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+2經過A（-1，0），B（4，0）兩點，
∴，
解得：
∴y=-x²+x+2；
當y=2時，-x²+x+2=2，解得：x₁=3，x₂=0（舍），
即：點D坐標為（3，2）．

（2）A，E兩點都在x軸上，AE有兩種可能：
①當AE為一邊時，AE∥PD，
∴P₁（0，2），
②當AE為對角線時，根據平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，
可知P點、D點到直線AE（即x軸）的距離相等，
∴P點的縱坐標為-2，
代入拋物線的解析式：-x²+x+2=-2
解得：x₁=，x₂=，
∴P點的坐標為（，-2），（，-2）
綜上所述：P₁（0，2）；P₂（，-2）；P₃（，-2）．

（3）存在滿足條件的點P，顯然點P在直線CD下方，設直線PQ交x軸于F，點P的坐標為（a，-a²+a+2），

①當P點在y軸右側時（如圖1），CQ=a，
PQ=2-（-a²+a+2）=a²-a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，
∴△COQ′∽△Q′FP，，，
∴Q′F=a-3，
∴OQ′=OF-Q′F=a-（a-3）=3，CQ=CQ′==，
此時a=，點P的坐標為（，），
②當P點在y軸左側時（如圖2）此時a＜0，-a²+a+2＜0，CQ=-a，
PQ=2-（-a²+a+2）=a²-a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴△COQ′∽△Q′FP，，，Q′F=3-a，
∴OQ′=3，
CQ=CQ′==，
此時a=-，點P的坐標為（-，）．
綜上所述，滿足條件的點P坐標為（，），（-，）．
點評：此題考查了二次函數的綜合應用，綜合考查了翻折變換、相似三角形的判定與性質，解答此類題目要求我們能將所學的知識融會貫通，屬于中考常涉及的題目，同學們一定要留意．