Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點0是BC的中點，D為AB上一動點，延長DO到E，且OE=OD，連接CE．
（1）如圖2，若D為AB的中點，請判斷四邊形EDAC的形狀，并說明理由；
（2）如圖3，若∠A=60°，∠BOD=30°，四邊形EDAC是等腰梯形嗎？請說明理由；
（3）若AC=15，AB=25，請在圖4中作出點D的位置使四邊形的EDAC周長最小，請補全圖形并求出四邊形的EDAC的最小周長．

Answer 1

（1）點0是BC的中點，即OC=OB，又OE=OD，∠EOC=∠DOB，∴△COE≌△BOD．
∴CE=DB，∠E=∠EDB，
∴CE∥AB，而D為AB的中點，
∴CE=AD，由平行四邊形判別定理可得EDAC為平行四邊形．

（2）由（1）可知CE∥AB，
∴四邊形EDAC是梯形，
在Rt△ABC中，∠A=60°，
∴∠B=30°，
又∵∠BOD=30°，
∴∠EDA=60°=∠A，
∴四邊形EDAC是等腰梯形．

（3）根據圖1、2、3可知，CE與BD的等長的，所以只有當ED是最小的，才會使得四邊形EDAC的周長最小，故只有當ED⊥AB時才會令四邊形EDAC周長最小．
對于Rt△ABC，由勾股定理求得BC=20，


∴BO=10
∵∠B=∠OCE，∠ODB=∠E=90°，
∴△BOD∽△BAC，
∴

BO

BA

=

OD

AC

，可求得，OD=6，
∴ED=12，
四邊形EDAC周長為：15+25+12=52．