Question

如圖，拋物線y1＝ax2－2ax＋b經過A(－1，0)，C(2，)兩點，與x軸交于另一點B；

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若拋物線的頂點為M，點P為線段OB上一動點(不與點B重合)，點Q在線段MB上移動，且∠MPQ＝45°，設線段OP＝x，MQ＝y2，求y2與x的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

(3)在同一平面直角坐標系中，兩條直線x＝m，x＝n分別與拋物線交于點E，G，與(2)中的函數圖像交于點F，H．問四邊形EFHG能否為平行四邊形？若能，求m，n之間的數量關系；若不能，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解∶(1)∵拋物線y1＝ax2－2ax＋b經過A(－1，0)，C(0，)兩點，∴，∴a＝－，b＝，∴拋物線的解析式為y1＝－x2＋x＋． 　　(2)作MN⊥AB，垂足為N．由y1＝－x2＋x＋易得M(1，2)， 　　N(1，0)，A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝4，MN＝BN＝2，MB＝2， 　　∠MBN＝45°．根據勾股定理有BM2－BN2＝PM2－PN2． 　　∴(2)2－22＝PM2＝－(1－x)2　①，又∠MPQ＝45°＝∠MBP， 　　∴△MPQ∽△MBP，∴PM2＝MQ×MB＝y2×2．②． 　　由①、②得y2＝x2－x＋．∵0≤x＜3，∴y2與x的函數關系式為y2＝x2－x＋(0≤x＜3)． 　　(3)四邊形EFHG可以為平行四邊形，m、n之間的數量關系是m＋n＝2(0≤m≤2，且m≠1)．∵點E、G是拋物線y1＝－x2＋x＋ 　　分別與直線x＝m，x＝n的交點，∴點E、G坐標為 　　E(m，－m2＋m＋)，G(n，－n2＋n＋)．同理，點F、H坐標 　　為F(m，m2－m＋)，H(n，n2－n＋)． 　　∴EF＝m2－m＋－(－m2＋m＋)＝m2－2m＋1，GH＝n2－n＋－(－n2＋n＋)＝n2－2n＋1． 　　∵四邊形EFHG是平行四邊形，EF＝GH．∴m2－2m＋1＝n2－2n＋1，∴(m＋n－2)(m－n)＝0． 　　由題意知m≠n，∴m＋n＝2(0≤m≤2，且m≠1)． 　　因此，四邊形EFHG可以為平行四邊形，m、n之間的數量關系是m＋n＝2(0≤m≤2，且m≠1)．