Question

如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標為（-8，0），△ABO是直角三角形，且OA=10，將△ABO繞點O順時針旋轉90°，得到△A′B′O
（1）求點A′的坐標；
（2）連接AA′，求△AOA′的面積；
（3）拋物線y=ax²+bx+c經過點A′、B′和點C（-1，1），求此拋物線的解析式；
（4）若P是（3）中的拋物線中直線A′O上方的一點，求點P到OA′的最大距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據Rt△AOB中，OA=10，OB=8，得出AB=6，進而得出A′B′=6，OB′=8，從而得出點A′的坐標；
（2）根據旋轉圖形的性質可知，AO=OA′，∠AOA′=90°，從而求出△AOA′面積；
（3）首先求出A′、B′的坐標，再運用待定系數法求出二次函數解析式；
（4）首先證明△PMQ∽△OA′B′，從而得出PQ=PM=（-x²+x+8），利用二次函數最值求出．
解答：解：（1）在Rt△AOB中，OA=10，OB=8
∴AB=6，
∵△AOB≌△A′OB′，
∴A′B′=6，OB′=8，
∴點A′的坐標為（6，8）；

（2）由題意可知，△AOB≌△A′OB′，
則∠AOB=∠A′OB′，OA=OA′，
∵∠AOB+∠AOB′=90°，
∴∠AOB′+∠A′OB′=90°，
∴△AOA′是等腰直角三角形，
∴△AOA′的面積=×10×10=50；

（3）∵拋物線y=ax²+bx+c經過點B′（0，8），
∴c=8，
∴拋物線解析式為y=ax²+bx+8拋物線過點B和A′，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²+6x+8；

（4）過點P作x軸的垂線，交OA′于點M，交x軸于N，作PQ⊥OA′于Q，
設點P的橫坐標為x，則點P的縱坐標為-x²+6x+8，
點M的橫坐標為x縱坐標為x，
∴PM=-x²+6x+8-x=-x²+x+8，
易證△PMQ∽△OA′B′，
∴PQ=PM=（-x²+x+8）=-x+x+=-（x-）²+，
∴PQ的最大值為．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及旋轉的性質，題目考查知識比較全面，將旋轉與相似融入的題目中，增加了題目的趣聞性，題目設計層層遞進，做題過程中一定細心．