Question

已知：二次函數y=（n-1）x²+2mx+1圖象的頂點在x軸上．
（1）試判斷這個二次函數圖象的開口方向，并說明你的理由；
（2）求證：函數y=m²x²+2（n-1）x-1的圖象與x軸必有兩個不同的交點；
（3）如果函數y=m²x²+2（n-1）x-1的圖象與x軸相交于點A（x₁，0）、B（x₂，0），與y軸相交于點C，且△ABC的面積等于2．求這個函數的解析式？

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需根據二次函數圖象的頂點在x軸上得出4m²-4（n-1）=0，從而得出n-1＞0，證出拋物線開口向上．
（2）本題需先求出△的值，再證明△＞0即可得出函數的圖象與x軸必有兩個交點．
（3）本題需根據根與系數的關系列出式子，求出AB的長，列出方程求m²與n即可求出這個函數的解析式．
解答：（1）∵二次函數y=（n-1）x²+2mx+1圖象的頂點在x軸上，
∴n-1≠0，△=4m²-4（n-1）=0．
∴m²=n-1≠0．
又∵m²≥0，∴n-1＞0．
∴這個函數圖象的開口方向向上．
（2）∵m²≠0，
∴這個函數是二次函數．△=4（n-1）²+4m²．
∵m²=n-1≠0，∴（n-1）²＞0，m²＞0．
∴△＞0．
∴函數y=m²x²+2（n-1）x-1的圖象與x軸必有兩個不同的交點．
（3）由題意，得，．
∵m²=n-1，∴．
而AB=|x₁-x₂|，點C的坐標為（0，-1）．
∴．
∴|x₁-x₂|=4．
∴．
∴．
∴．
∴所求的函數解析式為．
點評：本題主要考查了二次函數的圖象與x軸的交點，在解題時要能根據二次函數的圖象與x軸的交點列出式子求出答案是本題的關鍵．