Question

【題目】如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過、兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點為拋物線在第二象限內一點，并且在對稱軸的左邊，過點作軸的垂線，垂足為點，與直線交于點，過點作軸的平行線交拋物線于點，過點作軸的垂線，垂足為點，設點的橫坐標為．

①當矩形的周長最大時，求的面積；

②在①的條件下，當矩形的周長最大時，是直線上一點，是拋物線上一點，是否存在點，使得以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）

（2）①2；②存在，(-2，9)或(1，0)或(-6，-7)

【解析】

（1）先求出、兩點的坐標，再代入拋物線求出、的值即可；

（2）①先用m表示出PM的長，再求出拋物線的對稱軸及PQ的長，利用矩形的面積公式可得出其周長的解析式，進而可得出矩形面積的最大值，求出C點坐標，由三角形的面積公式即可得出結論；

②根據C點坐標得出P點坐標，故可得出PC的長，再分點F在點G的上方與點F在點G的下方兩種情況進行討論即可．

解：（1）∵y=x+5與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴當y=0時，x=-5，即A點坐標為(-5，0)，

當x=0時，y=5，即B點坐標為(0，5)，

將A(-5，0)，B(0，5)代入y=-x2+bx+c，

得，

解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）①∵點P的橫坐標為m，

∴P（m，-m2-4m+5），∴PM=-m2-4m+5．

∵拋物線y=-x2-4x+5的對稱軸為直線：

∴PQ=2（-2-m）=-4-2m．

∴矩形PQMN的周長l=2（PM+PQ）=2（-m2-4m+5-4-2m）

∴l=-2m2-12m+2=-2（m+3）2+20，

∵-2<0

∴當m=-3時，矩形PQMN的周長l最大，

此時點C的坐標為(-3，2)，CM=AM=2，

∴；

②存在，點F坐標為(-2，9)或(1，0)或(-6，-7)

由①可知，

以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形

設，則

當點F在點G上方時，如圖1，

即

（舍）

當點F在點G下方時，如圖2，

即

（舍）

或

點F坐標為(-2，9)或(1，0)或(-6，-7)