Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接BE．
（1）若∠C=30°，求證：BE是△DEC外接圓的切線；
（2）若BE=

3

，BD=1，求△DEC外接圓的直徑．

Answer 1

（1）證明：∵DE垂直平分AC，
∴∠DEC=90°，AE=CE，
∴DC為△DEC外接圓的直徑，
取DC的中點O，連結OE，如圖，
∵∠ABC=90°，
∴BE為Rt△ABC斜邊上的中線，
∴EB=EC，
∵∠C=30°，
∴∠EBC=30°，∠EOD=2∠C=60°，
∴∠BEO=90°，
∴OE⊥BE，
而OE為⊙O的半徑，
∴BE是△DEC外接圓的切線；

（2）∵BE為Rt△ABC斜邊上的中線，
∴AE=EC=BE=

3

，
∴AC=2

3

，
∵∠ECD=∠BCA，
∴Rt△CED∽Rt△CBA，
∴

CE

CB

=

CD

CA

，
而CB=CD+BD=CD+1，
∴

3

CD+1

=

CD

2 3

，
解得CD=2或CD=-3（舍去），
∴△DEC外接圓的直徑為2．