Question

如圖，已知AB是⊙O直徑，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于點F，交BC于點G，過點C作⊙O的切線與ED的延長線交于點P．
（1）求證：PC=PG；
（2）點C在劣弧AD上運動時，其他條件不變，若點G是BC的中點，試探究CG、BF、BO三者之間的數量關系，并寫出證明過程；
（3）在滿足（2）的條件下，已知⊙O的半徑為5，若點O到BC的距離為時，求弦ED的長．

Answer 1

（1）證明：連結OC，如圖，
∵PC為⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∴∠OCG+∠PCG=90°，
∵ED⊥AB，
∴∠B+∠BGF=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCG，
∴∠PCG=∠BGF，
而∠BGF=∠PGC，
∴∠PGC=∠PCG，
∴PC=PG；

（2）解：CG、BF、BO三者之間的數量關系為CG²=BO•BF．理由如下：
連結OG，如圖，
∵點G是BC的中點，
∴OG⊥BC，BG=CG，
∴∠OGB=90°，
∵∠OBG=∠GBF，
∴Rt△BOG∽Rt△BGF，
∴BG：BF=BO：BG，
∴BG²=BO•BF，
∴CG²=BO•BF；

（3）解：連結OE，如圖，
由（2）得BG⊥BC，
∴OG=，
在Rt△OBG中，OB=5，
∴BG==2，
由（2）得BG²=BO•BF，
∴BF==4，
∴OF=1，
在Rt△OEF中，EF==2，
∵AB⊥ED，
∴EF=DF，
∴DE=2EF=4．
分析：（1）連結OC，根據切線的性質得OC⊥PC，則∠OCG+∠PCG=90°，由ED⊥AB得∠B+∠BGF=90°，而∠B=∠OCG，所以∠PCG=∠BGF，根據對頂角相等得∠BGF=∠PGC，
于是∠PGC=∠PCG，所以PC=PG；
（2）連結OG，由點G是BC的中點，根據垂徑定理的推論得OG⊥BC，BG=CG，易證得Rt△BOG∽Rt△BGF，則BG：BF=BO：BG，即BG²=BO•BF，把BG用CG代換得到CG²=BO•BF；
（3）解：連結OE，OG=OG=，在Rt△OBG中，利用勾股定理計算出BG=2，再利用BG²=BO•BF可計算出BF，從而得到OF=1，在Rt△OEF中，根據勾股定理計算出EF=2，由于AB⊥ED，根據垂徑定理可得EF=DF，于是有DE=2EF=4．
點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了垂徑定理以及推論、勾股定理以及三角形相似的判定與性質．