Question

能力拓展：
A₁：

2

-

1

=

1

2 + 1

；A₂：

3

-

2

=

1

3 + 2

；A₃：

4

-

3

=

1

4 + 3

；A₄：

5

-

4

=

 

．
…A_n：

 

．
（1）請觀察A₁，A₂，A₃的規律，按照規律完成填空．
（2）比較大小A₁和A₂
∵

3

+

2

 

2

+

1

∴

1

3 + 2

 

1

2 + 1

∴

3

-

2

 

2

-

1

（3）同理，我們可以比較出以下代數式的大�。�

4

-

3

 

3

-

2

；

7

-

6

 

5

-

4

；

n+1

-

n

 

n

-

n-1

Answer 1

分析：（1）觀察A₁，A₂，A₃的規律可知，將等式的右邊乘以分母的有理化分式，即可得到左邊的代數式；
（2）先根據不等式的性質：等式的兩邊同時加上或減去一個數，等式仍成立，求得

3

+

2

＞

2

+

1

，然后利用（1）的結論解答；
（3）利用（2）的結論進行填空．

解答：解：（1）觀察A₁，A₂，A₃的規律可知，將等式右邊的分式分母有理化，即得等式左邊的代數式，所以

5

-

4

=

1

5 + 4

，

n+1

-

n

=

1

n+1 + n

，

（2）∵

3

＞

1

，
∴

3

+

2

＞

2

+

1

＞1（不等式的兩邊同時加上

2

，不等式仍成立）；
∴

1

3 + 2

＜

1

2 + 1

，
即

3 - 2

( 3 + 2 )( 3 - 2 )

＜

2 + 1

( 2 + 1 )( 2 -1)

；
∴

3

-

2

＜

2

-

1

；

（3）由（1）、（2），知

4

-

3

＜

3

-

2

，

7

-

6

＜

5

-

4

，

n+1

-

n

＜

n

-

n-1

；
故答案為：（1）

1

5 + 4

、

n+1

-

n

=

1

n+1 + n

；
（2）＞，＜，＜；
（3）＜，＜，＜．

點評：主要考查二次根式的有理化．根據二次根式的乘除法法則進行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式子．即一項符號和絕對值相同，另一項符號相反絕對值相同．