Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-1，3，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-

3

2

．
（1）求拋物線的解析式，并在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中作出其大致圖象；
（2）根據(jù)圖象回答：當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而減小；
（3）拋物線上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離為2，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是-1和3，設(shè)拋物線解析式的交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），再將點(diǎn)（0，-

3

2

）代入求a即可；可根據(jù)解析式得出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)圖象直接回答問(wèn)題；
（3）當(dāng)x=±2時(shí)，求拋物線線上點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）依題意設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
將點(diǎn)（0，-

3

2

）代入，得-3a=-

3

2

，解得a=

1

2

，
故y=

1

2

（x+1）（x-3），即y=

1

2

x²-x-

3

2

；
所以，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0）、（3，0），（0，-

3

2

），以及頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，-2），所以其圖象圖下圖所示：
；

（2）根據(jù)圖象知，當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小；

（3）當(dāng)x=2或x=-2時(shí)，點(diǎn)P到軸的距離是2．
當(dāng)x=2時(shí)，y=

1

2

×2²-2-

3

2

=-

3

2

；
當(dāng)x=-2時(shí)，y=

1

2

×（-2）²+2-

3

2

=

5

2

；
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，-

3

2

），或（-2，

5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的一般方法，需要根據(jù)條件合理地設(shè)解析式，同時(shí)考查了解析式的變形及運(yùn)用．