Question

如圖，對稱軸為直線x=的拋物線經過點A（-6，0）和點B（0，4）．
（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；
（2）設點E（x，y）是拋物線上的一個動點，且位于第三象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形，求?OEAF的面積S與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
①當?OEAF的面積為24時，請判斷?OEAF是否為菱形？
②是否存在點E，使?OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．•

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+）²+k（k≠0），
則依題意得：a+k=0，a+k=4
解之得：a=，
k=-
即：y=（x+）²-，頂點坐標為（-，-）；

（2）∵點E（x，y）在拋物線上，且位于第三象限．
∴S=2S_△OAE=2××0A×（-y）
=-6y
=-4（x+）²+25 （-6＜x＜-1）；
①當S=24時，即-4（x+）²+25=24，
解之得：x₁=-3，x₂=-4
∴點E為（-3，-4）或（-4，-4）
當點E為（-3，-4）時，滿足OE=AE，故□OEAF是菱形；
當點E為（-4，-4）時，不滿足OE=AE，故□OEAF不是菱形．
②不存在．
當0E⊥AE且OE=AE時，□OEAF是正方形，此時點E的坐標為（-3，-3），
而點E不在拋物線上，故不存在點E，使□OEAF為正方形．
分析：（1）根據對稱軸設拋物線的解析式為y=a（x+）²+k，將A、B兩點坐標代入，列方程組求a、k的值；
（2）根據平行四邊形的性質可知S=2S_△OAE，△OAE的底為AO，高為E點縱坐標的絕對值，由此列出函數關系式，①當S=24時，由函數關系式得出方程，求x的值，再逐一判斷；②不存在，只有當0E⊥AE且OE=AE時，□OEAF是正方形，由此求出E點坐標，判斷E點坐標是否在拋物線上．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據已知條件求拋物線解析式，根據平行四邊形的性質表示面積，由特殊平行四邊形的性質確定E點坐標，判斷E點坐標是否在拋物線上，確定存在性．