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如圖,在平面直角坐標系xOy中,△ABC的A、B兩個頂點在x軸上,頂點C在y軸的負半軸上.已知|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,△ABC的面積S△ABC=15,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過A、B、C三點.
(1)求此拋物線的函數表達式;
(2)在拋物線上是否存在異于B、C的點M,使△MBC中BC邊上的高為?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明由.

【答案】分析:(1)根據|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,△ABC的面積S△ABC=15,設|OB|=|OC|=5|OA|=5m,可得(m+5m)×5m=15,求出m的值,從而得到A、B、C三點的坐標,利用待定系數法求出函數解析式;
(2)利用待定系數法求出一次函數解析式,根據二次函數解析式設出函數圖象上點的坐標,利用點到直線的距離公式列出關于n的方程,解答即可.
解答:解:(1)∵|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,
∴設|OB|=|OC|=5|OA|=5m,
∵S△ABC=15,
(m+5m)×5m=15,
∴m=1,
∴|OB|=|OC|=5,
|OA|=1,
∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過A、B、C三點A(-1,0)B(5,0)C(0,-5),
設二次函數解析式為y=ax2+bx+c,
把A(-1,0)B(5,0)C(0,-5)分別代入解析式得,

解得
∴a=1,b=-4,c=-5,
∴y=x2-4x-5.

(2)設直線BC的解析式為y=kx+b,把(5,0),(0,-5)分別代入解析式得:

解得
則一次函數解析式為y=x-5 即x-y-5=0,
設M的坐標為(n,n2-4n-5),
代入點到直線的距離公式得:=7
整理得:①n2-5n+14=0,
∵△=25-56=-31<0,
∴方程無解;
②n2-5n-14=0,
解得:n=-2或n=7.
故M點坐標為(-2,7),(7,16).
點評:本題考查了二次函數的綜合題型,其中涉及到的知識點有待定系數法求一次函數解析式和二次函數解析式、三角形的面積求法、點到直線的距離公式等.計算量較大,涉及面較廣,要認真對待.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標;
(2)當∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標.

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(2012•渝北區一模)如圖,在平面直角坐標xoy中,以坐標原點O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(包括邊界)的所有整數點(橫、縱坐標均為整數)中任意選取一個點,其橫、縱坐標之和為0的概率是
5
29
5
29

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如圖,在平面直角坐標中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點坐標為(4,0),D點坐標為(0,3),則AC長為
5
5

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如圖,在平面直角坐標xOy中,已知點A(-5,0),P是反比例函數y=
k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數y=
k
x
的解析式為(  )

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如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點P從點O出發,在梯形OABC的邊上運動,路徑為O→A→B→C,到達點C時停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(不要求過程,只需寫出結果).

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