Question

（2004•南平）如圖1，正方形ABCD的邊長為2厘米，點E從點A開始沿AB邊移動到點B，點F從點B開始沿BC邊移動到點C，點G從點C開始沿CD邊移動到點D，點H從點D開始沿DA邊移動到點A、它們同時開始移動，且速度均為0.5厘米/秒．設運動的時間為t（秒）
（1）求證：△HAE≌△EBF；
（2）設四邊形EFGH的面積為S（平方厘米），求S與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在圖2中用描點法畫出（2）中函數的圖象，并觀察圖象，答出t為何值時，四邊形EFGH的面積最小？最小值是多少？

t
s

Answer 1

【答案】分析：（1）由于H、E的運動速度和時間都相等，因此DH=AE．四邊形ABCD是正方形，可得到∠A=∠B=90°，且AD=AB，由此可證得AH=BE．根據SAS即可判定所求的兩個三角形全等；
（2）按照（1）的思路，易求得Rt△HAE、Rt△EBF、Rt△FCG、Rt△GDH都全等，因此它們的面積也相等，因此四邊形EFGH的面積即為正方形ABCD與4個全等三角形的面積差，由此可得到關于S、t的函數關系式；
（3）根據（2）得到的函數關系式，找出幾組拋物線圖象上的點，然后描點、連線即可作出拋物線的圖象．進而可根據圖象判斷出在自變量的取值范圍內S的最小值．
解答：解：（1）t秒時，AE=0.5t，BF=0.5t，DH=0.5t
∴AE=BF=DH（1分）
∵四邊形ABCD為正方形
∴∠A=∠B=90°，AD=AB
∴AH=BE=2-0.5t（3分）
∴△HAE≌△EBF（4分）

（2）由（1）同理可得Rt△HAE≌Rt△EBF≌Rt△FCG≌Rt△GDH（5分）
（7分）
=（8分）
自變量t的取值范圍是O≤t≤4（9分）
（3）
∴圖象的開口向上，對稱軸為t=2，頂點坐標為（2，2）

t	0	1	2	3	4
s	4	2.5	2	2.5	4

說明：正確描點畫圖，圖象如右圖所示得（3分）（不能按自變量取值范圍作圖扣1分）
答：由圖象可知t=2（秒）時，S_最小值=2（平方厘米）．（14分）
點評：此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、圖形面積的求法、二次函數的應用以及二次函數圖象的畫法等知識的綜合應用．