Question

兩個全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC不動，將△DEF進行如下操作：
（1）如圖，△DEF沿線段AB向右平移（即D點在線段AB內移動），連接DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷的變化，但它的面積不變化，請求出其面積．

（2）如圖，當D點移到AB的中點時，請你猜想四邊形CDBF的形狀，并說明理由．

（3）如圖，△DEF的D點固定在AB的中點，然后繞D點按順時針方向旋轉△DEF，使DF落在AB邊上，此時F點恰好與B點重合，連接AE，請你求出sinα的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平移的性質得到AD=BE，再結合兩條平行線間的距離相等，則三角形ACD的面積等于三角形BEF的面積，所以要求的梯形的面積等于三角形ABC的面積．根據60度的直角三角形ABC中AC=1，即可求得BC的長，從而求得其面積；
（2）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和平移的性質，即可得到該四邊形的四條邊都相等，則它是一個菱形；
（3）過D點作DH⊥AE于H，可以把要求的角構造到直角三角形中，根據三角形ADE的面積的不同計算方法，可以求得DH的長，進而求解．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠A=60°，AC=1，
∴BC=，
∴S_梯形CDBF=S_△ABC=；

（2）菱形．
∵在直角三角形ABC中，AD=BD，
∴CD=AD=BD，
根據平移的性質得到CF=BD，BF=CD，
∴CF=BD=BF=CD，
∴四邊形CDBF是菱形；

（3）過D點作DH⊥AE于H，則S_△ADE=•1•=，
又S_△ADE=AE•DH=，
DH==，
∴在Rt△DHE′中，sinα==．
點評：綜合運用直角三角形的性質和平移的性質進行分析計算，考查學生綜合運用數學知識的能力．