Question

如圖1，AD是Rt△ABC的斜邊BC上的高，AB=AC，⊙O過A、D兩點并分別交AB、AC于E、F，連接EF交AD于G，分別連接ED、DF．
（1）填空，直接寫出圖中至少三對相似而不全等的三角形，它們是______；
（2）填空，直接寫出圖中所有的全等三角形，它們是______，并且寫出線段AE、AF、AB間的關系式______；
（3）如圖2，當圓心O的位置移到△ABC的外面，⊙O分別與BA、AC的延長線交于點E'，F'時，分別連接E'F'、E'D、DF'，線段AE′、AF′、AB間有什么關系？請證明你的結論．

Answer 1

解：（1）△AEG∽△FDG，△AGF∽△EGD，△DEF∽△ABC（答案不唯一，只要正確都可以）．

（2）△ABD≌△ACD；△BDE≌△ADF；△CDF≌△ADE；AE+AF=AB．

（3）AB=AF'-AE'．
證明：連接DF'，
∵△ABC是等腰直角三角形，AD是斜邊上的高
∴∠B=∠BAD=∠DCA=45°
∴∠E'AD=∠DCF'=135°
∵∠AE'D=∠CF'D，AD=DC
∴△E'AD≌△F'CD
∴AE'=CF'，
∴AF'=AC+CF'=AE'+AC，
∵AB=AC
∴AB=AF'-AE'．
分析：（1）AB=AC，且∠BAC=90°，因此∠BAC=∠CAB=∠A=∠B=45°，也就能得出弧ED=弧DF，因此DE=DF，由于∠EAF=90°，那么EF就是圓的直徑，那么∠EDF也是直角，因此△EDF也是個等腰直角三角形，所以△EDF∽△CAD∽△BAD∽△ABC，而△AEG，△DGF以及△EGD，△AFG可以通過對頂角和同弧所對的圓周角相等來得出相似，本題的相似三角形較多，只要能得出兩組對應角相等的就都可以（前提是不全等）；
（2）AD是等腰直角三角形斜邊上的高，因此AD分成的兩個小等腰直角三角形就全等，因為∠DFC是圓內接四邊形AEDF的外角，因此∠DFC=∠AED，又有∠BAD=∠C=45°，且AD=DC，那么△AED≌△CFD，同理可證得△BDE≌△ADF，由△AED≌△CFD，我們可得出AE=FC，因此AC=AE+AF=AB．
（3）方法同（2）得出AE'=F'C后，AC+AE'=AF'，即AB+AE'=AF'，AB=AF'-AE'．
點評：本題主要考查了圓周角定理，等腰直角三角形的性質，相似三角形、全等三角形的判定和性質等知識點．（2）（3）中根據全等三角形來得出線段相等是解題的關鍵．