Question

如圖①，二次函數的拋物線的頂點坐標C，與x軸的交于A(1,0)、B(-3,0)兩點，與y軸交于點D（0,3）
【小題1】求這個拋物線的解析式
【小題2】如圖②，過點A的直線與拋物線交于點E，交軸于點F，其中點E的橫坐標為-2，若直線為拋物線的對稱軸，點G為直線上的一動點，則軸上是否存在一點H，使四點所圍成的四邊形周長最小，若存在，求出這個最小值及點G、H的坐標；若不存在，請說明理由；
【小題3】如圖③，連接AC交y軸于M，在x軸上是否存在點P，使以P、C、M為頂點的三角形與△AOM相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

圖①                                     圖②

圖③

Answer 1

【小題1】設所求拋物線的解析式為：,將A(1,0)、B(-3,0)、 D（0,3）代入，得     …………………………………………2分
即所求拋物線的解析式為：   ……………………………3分
【小題2】如圖④，在y軸的負半軸上取一點I，使得點F與點I關于x軸對稱，
在x軸上取一點H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HF＝HI…………………①
設過A、E兩點的一次函數解析式為：y＝kx＋b（k≠0），
∵點E在拋物線上且點E的橫坐標為-2，將x＝-2，代入拋物線，得
∴點E坐標為（-2，3）………………………………………………………………4分
又∵拋物線圖象分別與x軸、y軸交于點A(1,0)、B(-3,0)、
D（0，3），所以頂點C（-1,4）
∴拋物線的對稱軸直線PQ為：直線x＝-1，    [中國教#&~@育出%版網]
∴點D與點E關于PQ對稱，GD＝GE……………………………………………②  
分別將點A（1，0）、點E（-2，3）
代入y＝kx＋b，得：
解得：
過A、E兩點的一次函數解析式為：
y＝-x＋1         
∴當x＝0時，y＝1  
∴點F坐標為（0，1）……………………5分 
∴=2………………………………………③ 
又∵點F與點I關于x軸對稱，   
∴點I坐標為（0，-1）   
∴……………………………………④
又∵要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個定值，
∴只要使DG＋GH＋HI最小即可        ……………………………………6分
由圖形的對稱性和①、②、③，可知，
DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有當EI為一條直線時，EG＋GH＋HI最小
設過E（-2，3）、I（0，-1）兩點的函數解析式為：，
分別將點E（-2，3）、點I（0，-1）代入，得：
解得：
過I、E兩點的一次函數解析式為：y＝-2x-1
∴當x＝-1時，y＝1；當y＝0時，x＝-；  
∴點G坐標為（-1，1），點H坐標為（-，0）
∴四邊形DFHG的周長最小為：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI
由③和④，可知：

DF＋EI＝
∴四邊形DFHG的周長最小為.   …………………………………………7分
【小題3】如圖⑤，

由(2)可知，點A(1,0)，點C（-1,4），設過A(1,0)，點C（-1,4）兩點的函數解析式為：，得：
解得：，
過A、C兩點的一次函數解析式為：y＝-2x+2,當x＝0時，y＝2，即M的坐標為（0,2）；
由圖可知，△AOM為直角三角形，且，   ………………8分
要使，△AOM與△PCM相似，只要使△PCM為直角三角形，且兩直角邊之比為1:2即可，設P(,0)，CM=，且∠CPM不可能為90°時，因此可分兩種情況討論；   ……………………………………………………………………………9分
①當∠CMP=90°時，CM=，若則，可求的P（-4,0），則CP=5，，即P（-4,0）成立，若由圖可判斷不成立；……………………………………………………………………………………10分
②當∠PCM=90°時，CM=，若則，可求出
P（-3,0），則PM=，顯然不成立，若則，更不可能成立.……11分
綜上所述，存在以P、C、M為頂點的三角形與△AOM相似，點P的坐標為（-4,0）12分解析:
(1)直接利用三點式求出二次函數的解析式；
（2）若四邊形DFHG的周長最小，應將邊長進行轉換，利用對稱性，要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個定值，只要使DG＋GH＋HI最小即可，   
由圖形的對稱性和，可知，HF＝HI，GD＝GE，
DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有當EI為一條直線時，EG＋GH＋HI最小，即
，DF＋EI＝
即邊形DFHG的周長最小為.
（3）要使△AOM與△PCM相似，只要使△PCM為直角三角形，且兩直角邊之比為1:2即可，設P(,0)，CM=，且∠CPM不可能為90°時，因此可分兩種情況討論，①當∠CMP=90°時，CM=，若則，可求的P（-4,0），則CP=5，，即P（-4,0）成立，若由圖可判斷不成立；②當∠PCM=90°時，CM=，若則，可求出P（-3,0），則PM=，顯然不成立，若則，更不可能成立.  即求出以P、C、M為頂點的三角形與△AOM相似的P的坐標（-4，0）