Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，點E在BC上，點F在AC上，∠DFC=∠AEB．
（1）求證：△ADF∽△CAE；
（2）當AD=8，DC=6，點E、F分別是BC、AC的中點時，求直角梯形ABCD的面積？

Answer 1

【答案】分析：（1）已知∠DFC=∠AEB，則它們的補角也相等；再由梯形的平行線得出的內錯角相等，即可判定兩個三角形相似．
（2）欲求梯形的面積，首先須求出BC的長，那么求出CE的長是解答此題的關鍵；可在Rt△ACD中，根據勾股定理求出AC的長，進而可求出AF的長；然后根據（1）的相似三角形得出的對應成比例線段，求出EC的長，由此得解．
解答：（1）證明：在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAF=∠ACE；
∵∠DFC=∠AEB，∴∠DFA=∠AEC；
∴△ADF∽△CAE；

（2）解：由（1）知：△ADF∽△CAE，
∴=；
∵AD=8，DC=6，∠ADC=90°，
∴AC==10；
又F是AC的中點，∴AF=AC=5；
∴=，解得CE=；
∵E是BC的中點，
∴BC=2CE=；
∴直角梯形ABCD的面積=×（+8）×6=．
點評：此題主要考查了直角梯形的性質以及相似三角形的判定和性質．