Question

奇異果是新西蘭的特產，其實它的祖籍在中國，又名“獼猴桃”．奇異果除了富含維他命C、A、E以及鉀、鎂、纖維素外，還含有其它水果中很少見的營養成分--葉酸、胡蘿卜素、鈣、黃體素、氨基酸，因而被營養師稱之為“營養活力的來源”．2011年1月份至6月份重慶某大型超市新西蘭品種的奇異果銷售價格y（元/盒）與月份x（1≤x≤6，且x為整數）之間的函數關系如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6
銷售價格y	90	45	30	22.5	18	15

7月份至12月份奇異果的銷售價格y（元/盒）與月份x之間滿足函數關系式：y=2x+20（7≤x≤12且x為整數）．該超市去年奇異果銷售數量z（盒）與月份x（1≤x≤12，且x為整數）之間存在如圖所示的變化趨勢．若去年該超市奇異果的進價為每盒20元，銷售奇異果需要一名超市員工，該員工每月固定人工費用為1500元．
（1）請觀察圖中的表格用所學過的一次函數、反比例函數以及二次函數的有關知識直接寫出2011年1月份至6月份銷售價格y與x之間的函數關系式；根據如圖所示的變化趨勢，直接寫出去年每月銷售數量z與x之間滿足的函數關系式；
（2）求出去年每月該超市的利潤w（元）與月份x之間滿足的函數關系式．（利潤=收入-成本-費用）
（3）從今年1月份開始為了調動員工的積極性，超市決定每賣出一盒奇異果，該員工還可提成2元，奇異果的進價為每盒26元，雖然今年1月份奇異果的銷售價格比去年12月份增加4元，但1月份銷售數量仍比去年12月份增加了0.4a%；2月份銷售價格在1月份的基礎上增加了0.5a%，由于其它水果陸續上市，2月份的銷售量與1月份持平，這樣2月份的利潤達到了15780元，請參考以下數據，求出整數a的值．（參考數據：45²=2025，46²=2116，47²=2209）

Answer 1

分析：（1）設2011年1月份至6月份銷售價格y與x之間的函數關系式為y=

k

x

，由統計表建立方程組求出其解；設1月份至6月份z₁與x之間的函數關系式為z₁=k₁x+b₁，7月份至12月份z2與x之間的函數關系式為z₂=k₂x+b₂，根據題意求出結論即可；
（2）設去年每月該超市的利潤w（元），根據利潤=收入-成本-費用表示出w就可以求出w與x之間的函數關系式；
（3）根據題意可以求出去年12月的銷售價格：y=2×12+20=44元，今年1月份的銷售價格為：44+4=48元，去年12月的銷售數量為600盒，今年1月份的銷售數量為600（1+0.4a%）盒，2月份的銷售價格為48（1+0.5a%）元，根據2月份的利潤為15780元為等量關系建立方程求出其解即可．

解答：解：（1）設2011年1月份至6月份銷售價格y與x之間的函數關系式為y=

k

x

，由統計表為：
45=

k

2

，
k=90，
∴y=

90

x

（1≤x≤6）；
設1月份至6月份z₁與x之間的函數關系式為z₁=k₁x+b₁，由圖象，得

150=k1+b1 750=5k1+b1

，
解得：

k1=150 b1=0

，
∴z₁=150x，（1≤x≤6，x為整數）
當x=6時，z₁=900
設7月份至12月份z2與x之間的函數關系式為z₂=k₂x+b₂，由圖象，得

900=6k2+b2 600=12k2+b2

，
解得：

k2=-50 b2=1200

，
∴z₂=-50x+1200（7≤x≤12，x為整數），

（2）設去年每月該超市的利潤w（元），由題意，得
當1≤x≤6，x為整數時，
w₁=（

90

x

-20）×150x-1500，
w₁=-3000x+12000；
當7≤x≤12，x為整數時，
w₂=（2x+20-20）（-50x+1200）-1500，
w₂=-100x²+2400x-1500，

（3）由題意，得
去年12月的銷售價格：y=2×12+20=44元，
今年1月份的銷售價格為：44+4=48元，
去年12月的銷售數量為：600盒，
今年1月份的銷售數量為600（1+0.4a%）盒，
2月份的銷售價格為48（1+0.5a%）元，
∴[48（1+0.5a%）-26-2][600（1+0.4a%）]-1500=15780，
設a%=m，則有：
[48（1+0.5m）-26-2][600（1+0.4m）]-1500=15780，
整理，得
12m²+40m-11=0，
∴m=

-40± 402-4×12×(-11)

24

，
m=

-40± 2128

24

．
∵46²=2116，
∴m₁=0.25，m₂=-3.58．
∴a%=0.25或a%=-3.58，
∴a₁=25，a₂=-358（舍去），
∴a=25．

點評：本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式的運用，一次函數的運用，二次函數的解析式的運用，根據條件列一元二次方程解實際問題的運用，解答時求函數的解析式是重點，根據2月份的利潤為15780元建立方程是求a值得關鍵．