Question

已知拋物線的頂點P（3，-2）且在x軸上所截得的線段AB的長為4．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在點Q，使△QAB的面積等于12？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線的頂點P（3，-2），
∴拋物線的對稱軸為直線x=3，
又∵在x軸上所截得的線段AB的長為4，設A在左邊，
∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（5，0），
設拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-5），
將點P（3，-2）代入可得：-2=a（3-1）（3-5），
解得：a=，
故拋物線的解析式為：y=（x-1）（x-5）=x²-3x+．

（2）設存在點Q的坐標，點Q的坐標為（x，x²-3x+），
∵△QAB的面積等于12，
∴AB×|x²-3x+|=12，
即x²-3x+=±6，
方程x²-3x+=-6無解，則x²-3x+=6，
解得：x₁=7，x₂=-1．
故可得點Q的坐標為（-1，6）或（7，6）．
分析：（1）設A在左邊，根據拋物線的對稱性可得出A的坐標為（1，0），B的坐標為（5，0），從而設出拋物線的兩點式，將頂點坐標代入可得出拋物線的解析式；
（2）設出點Q的坐標，表示出△QAB的面積，繼而建立方程，求解即可．
點評：此題考查了二次函數的綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式及三角形的面積，根據對稱性求出與x軸的交點是解題的關鍵，第二問的求解需要我們借助方程，注意△ABQ的面積表達式的出得．