Question

（2008•常州）如圖，港口B位于港口O正西方向120海里處，小島C位于港口O北偏西60°的方向．一艘科學考察船從港口O出發，沿北偏西30°的OA方向以20海里/小時的速度駛離港口O．同時一艘快艇從港口B出發，沿北偏東30°的方向以60海里/小時的速度駛向小島C，在小島C用1小時裝補給物資后，立即按原來的速度給考察船送去．
（1）快艇從港口B到小島C需要多少時間？
（2）快艇從小島C出發后最少需要多少時間才能和考察船相遇？

Answer 1

【答案】分析：（1）要求B到C的時間，已知其速度，則只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的時間．
（2）過C作CH⊥OA，垂足為H．設快艇從C島出發后最少要經過x小時才能和考察船在OA上的D處相遇，則CD=60x，OD=20（x+2）．根據直角三角形的性質可解得x的值，從而求得快艇從小島C出發后和考察船相遇的最短的時間．
解答：解：（1）由題意可知：∠CBO=60°，∠COB=30度．
∴∠BCO=90度．
在Rt△BCO中，
∵OB=120，
∴BC=60，OC=60．
∴快艇從港口B到小島C的時間為：60÷60=1（小時）．

（2）設快艇從C島出發后最少要經過x小時才能和考察船在
OA上的D處相遇，則CD=60x．
過點D作DE⊥CO于點E，
∵考察船與快艇是同時出發，
∵快艇從港口B到小島C的時間是1小時，在小島C用1小時裝補給物資，
∴考察船從O到D行駛了（x+2）小時，
∴OD=20（x+2）．
過C作CH⊥OA，垂足為H，
在△OHC中，
∵∠COH=30°，OB=120，
∴CO=60，
∴CH=30，OH=90．
∴DH=OH-OD=90-20（x+2）=50-20x．
在Rt△CHD中，CH²+DH²=CD²，
∴+（50-20x）²=（60x）²．
整理得：8x²+5x-13=0．
解得：x₁=1，x₂=-．
∵x＞0，
∴x=1．
答：快艇從小島C出發后最少需要1小時才能和考察船相遇．
點評：此題考查學生對方向角的理解及解直角三角形的綜合計算能力，難易程度適中．