Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5，0)兩點.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點D為線段OA的一個三等分點，求直線DC的解析式；

(3)若一個動點P自OA的中點M出發，先到達x軸上的某點(設為點E)，再到達拋物線的對稱軸上某點(設為點F)，最后運動到點A.求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長.

Answer 1

答案：
解析：

思路解析：(1)已知圖象上的三個點的坐標，用待定系數法可求出函數解析式; (2)根據分點的意義，算出兩個分點的坐標，用待定系數法分別求出解析式; (3)路徑最短問題，可以用軸對稱變換，把線段轉換到同一直線上. 作點A關于拋物線的對稱軸的對稱點A′，點M關于x軸的對稱點M′，連接A′M′，則線段A′M′的長就是最小的線段和. 解：根據題意，c=3，所以 解得 所以，拋物線的解析式為 (2)根據題意可得OA的三等分點分別為(0，1)，(0，2). 設直線CD的解析式為y=kx+m. 當點D的坐標為(0，1)時，直線CD的解析式為y=x+1; 當點D的坐標為(0，2)時，直線CD的解析式為y=x+2. (3)如圖，由題意可得M(0，). 點M關于x軸的對稱點為M′(0，)， 點A關于拋物線對稱軸x=3軸的對稱點為A′(6，3)， 連接A′M′.根據軸對稱性質及兩點間線段最短可知，A′M′的長度就是所求點P運動的最短總路徑的長. 所以A′M′與x軸的交點為所求E點，A′M′與直線x=3的交點為所求F點. 把A′、M′的坐標代入解析式得，直線A′M′的解析式為. 所以E點坐標為(2，0)，F點坐標為(3，). 由勾股定理求得A′M′=. 所以點P運動的最短總路徑(ME+EF+FA)的長為.