Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中點O為圓心，OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE．

（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若cos∠BAD＝，BE＝12，求OE的長；

（3）求證：BC2＝2CDOE．

Answer 1

【答案】（1）DE與⊙O相切（2）15（3）證明見解析

【解析】

（1）DE與⊙O相切，連接OD，BD．證明DE⊥OD即可證明DE為⊙O的切線；

（2）由cos∠BAD=得到sin∠BAC=，又BE=12，BC=24，所以AC=30，又AC=2OE，所以OE=AC=×30=15；

（3）OE是△ABC的中位線，所以AC=2OE，證明△ABC∽△BDC，則即BC2=ACCD=2CDOE．

（1）DE與相切

理由如下：連接 OD,BD.

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，

∴CE=DE=BE= BC，

∴∠C=∠CDE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，

∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，

∴DE為的切線；

（2）∵cos∠BAD=

∴sin∠BAC=

又∵BE=12，E是BC的中點，即BC=24，

∴AC=30，

又∵AC=2OE，

∴OE=AC=×30=15；

（3）證明：∵E是BC的中點，O點是AB的中點，

∴OE是△ABC的中位線，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

∴

即BC2=ACCD．

∴BC2=2CDOE